Teorema de Desargues

Gérard Desargues (1591-1661) fue un matemático, geómetra, ingeniero y arquitecto francés. Formó parte de los científicos franceses más reconocidos de la época con los que mantuvo relación entre otros con Pascal, Descartes y Fermat.

Desargues pasó a la historia por sus contribuciones en la geometría, en las que investigó y profundizó en la proyectividad en el plano. Gracias a de estas es considerado en la actualidad como el padre de la geometría proyectiva.

La primera contribución se recoge en su obra:

"Brouillon project d'une atteinte aux evenemens des rencontres du Cone avec un Plan"

(Borrador de un ensayo sobre los resultados de los encuentros de un cono con un plano)

La segunda contribución relevante se recoge en su libro:

"Manière universelle de S. Desargues pour pratiquer la perspective."

(Manera universal de S. Desargues para practicar la perpectiva)

En esta obra presentó lo que actualmente llamamos el teorema de Desargues.

Teorema de Desargues:

"En el plano proyectivo, dos triángulos son proyectivos respecto de un punto si, y sólo si, son proyectivos desde una recta."

París 1648

- Que los triángulos sean proyectivos un punto significa que las rectas AD, BE y CF concurren en un mismo punto O.

- Que los triángulos sean proyectivos desde una recta significa que los pares de lados (AB, DE), (BC, EF) y (AC, DF) se sobre una misma recta r.

Interpretación espacial del teorema de Desargues:

- Tres rectas, no paralelas, definen un plano.

- Dos planos, no paralelos, intersectan.

Solución al ejercicio práctico:

Sistema Diédrico | verdadera magnitud

El sistema diédrico sólo permite la visualización directa de la verdadera magnitud de los objetos en algunos casos determinados. En el resto de los casos es necesaria la realización de unos pasos para conocer esta verdadera magnitud, tanto para distancias como para ángulos.

En la siguiente representación podemos observar como un segmento cualquiera modifica sus dimensiones dependiendo de las proyecciones de los planos de proyección. Podemos modificar la posición de los puntos A y B en su representación real en el sistema tridimensional, y así observar esas modificaciones.

Para verlo más concretamente nos centraremos en la variación de la altura de estos dos puntos. A partir de la siguiente figura podemos ver como varia este valor y empezar a comprender las herramientas necesarias para obtener la verdadera magnitud a través del trabajo en los tres planos de proyección que utilizamos en el sistema diédrico.

A continuación os adjunto un geogebra donde podéis ver el procedimiento y las herramientas del sistema diédrico utilizadas (proyecciones perpendiculares, abatimiento...).

"Big Thles" | Solución problema 1

Ayer fue el último día para solucionar este problema dentro del concurso "Big Thales" . Gracias a todos los que habéis participado, enhorabuena a aquellos que lo habéis conseguido y mucho animo con los siguientes problemas. A los que no os ha dado tiempo, no lo habéis conseguido o a los que hayáis llegado tarde al concurso daros animo para siguientes ediciones.

Aquí os dejo la solución al problema 1.

"Big Thales" | Problema 1

Aquí os dejo la primera prueba a superar para convertirse en un Big Thales y así conseguir la insignia que te colocará a la altura de uno de los siete sabios de la Grecia presocrática.




Nadie dijo que fuera fácil, pero tenéis 10 días (hasta el 16 de noviembre) para darle vueltas.

¡¡Animo!!

Solución problema 02

Antes de daros la solución os cuelgo un par de links a continuación con los conceptos básicos para solucionar el problema:

Teorema del cateto.
Teorema de la altura.

Aquí podréis profundizar más sobre estos teoremas y otros conceptos de proporcionalidad.

Ambos teoremas son resultado de una interpretación conjunta del teorema de Thales y del teorema de Pitágoras.

Solución del Problema 02:

El problema es una aplicación directa del teorema de la altura.



Enunciado del problema 02.

Problema 02

Os propongo otro problema:



Os dejo tiempo para que lo intentéis. En un par de días os mostraré la solución.

¡¡¡Ánimo!!!



Solución al problema 02.

Solución al problema 01

El problema 01 es una aplicación directa del un teorema de Thales, principio básico de la geometría clásica. Aquí lo podéis consultar.

SOLUCIÓN AL PROBLEMA 01:

Basta con colocar los segmentos a y b según la figura de Thales. El resultado de aplicar el teorema de Thales será el segmento c.



Lo más difícil es darse cuenta que el segmento b, aun que mide 2, hay que ponerlo en relación con la unidad. Esto se ve más claro con la explicación aritmética a la que estamos más acostumbrados:

enunciado problema 01

Problema 01

Como introducción al dibujo técnico os propongo un problema de geometría básica.
Así podéis medir vuestros conocimientos en este punto de partida.



!Animo¡



Solución problema 01