Teorema de Desargues

Gérard Desargues (1591-1661) fue un matemático, geómetra, ingeniero y arquitecto francés. Formó parte de los científicos franceses más reconocidos de la época con los que mantuvo relación entre otros con Pascal, Descartes y Fermat.

Desargues pasó a la historia por sus contribuciones en la geometría, en las que investigó y profundizó en la proyectividad en el plano. Gracias a de estas es considerado en la actualidad como el padre de la geometría proyectiva.

La primera contribución se recoge en su obra:

"Brouillon project d'une atteinte aux evenemens des rencontres du Cone avec un Plan"

(Borrador de un ensayo sobre los resultados de los encuentros de un cono con un plano)

La segunda contribución relevante se recoge en su libro:

"Manière universelle de S. Desargues pour pratiquer la perspective."

(Manera universal de S. Desargues para practicar la perpectiva)

En esta obra presentó lo que actualmente llamamos el teorema de Desargues.

Teorema de Desargues:

"En el plano proyectivo, dos triángulos son proyectivos respecto de un punto si, y sólo si, son proyectivos desde una recta."

París 1648

- Que los triángulos sean proyectivos un punto significa que las rectas AD, BE y CF concurren en un mismo punto O.

- Que los triángulos sean proyectivos desde una recta significa que los pares de lados (AB, DE), (BC, EF) y (AC, DF) se sobre una misma recta r.

Interpretación espacial del teorema de Desargues:

- Tres rectas, no paralelas, definen un plano.

- Dos planos, no paralelos, intersectan.

Solución al ejercicio práctico:

Metafísica, geometría, arte y hip hop

Percepción de la perfección de la percepción de la perfección.

Estoy buscando en lo poético que hay en lo supra-estético,

que hay en lo macro-cromático, que hay en lo no-animal.

Repartiendo Arte | Kase.O |

Canción para la reflexión sensitiva del arte, la percepción, la geometría, la matemática, la filosofía, el infinito, lo abstracto, lo informal, la perfección, la física, el tiempo, el espacio... interconexión de conceptos vinculados e inseparables.

Se recomienda la atenta y recurrente escucha.

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"Repartiendo Arte", una obra maestra. (El orden cultural)

Kase.O, o una vuelta a la Grécia clásica. (A privativa)

Triángulos

Un triángulo es un polígono de tres lados, que definen tres vértices y tres ángulos.

El triángulo es el polígono más simple y el único que no tiene diagonal.

Axiomas del triángulo:
En un triángulo siempre se cumple que:

- La suma de dos lados excede al tercer lado.
Si a, b, c son los lados: a + b > c | b + c > a | c + a > b

- La suma de los ángulos es constante.
Si A, B, C son los ángulos, A + B + C = 180°

Para que tres segmentos determinen un triángulo el mayor debe ser menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°.

Rectas y puntos notables de un triángulo:

Mediana y baricentro

La mediana es el segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto de un triángulo.

Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto llamado baricentro (G) del triángulo.

La mediatriz y el circuncentro:

La mediatriz de un lado de un triángulo a la recta perpendicular a dicho lado trazada por su punto medio.

Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes en el circuncentro (O) que equidista de los tres vértices. La circunferencia de centro O y radio hasta cada uno de los tres vértices del triángulo es la circunferencia circunscrita al triángulo.

Bisectriz e incentro:

La bisectriz de dos segmentos es la recta que pasa por el vértice del ángulo de estos y lo divide en dos partes iguales.

Las tres bisectrices internas de un triángulo son concurrentes en el incentro I, que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Altura y ortocentro:

La altura de un triángulo es el segmento de recta que une un vértice del triángulo con el lado opuesto formando un ángulo recto.

Las alturas de un tríangulo se cortan en el ortocentro (H).

Arqueología de geometría

El mes pasado, el docente y arquitecto, Santiago de Molina nos dejaba en su blog una reflexión de cómo cambian los tiempos en su entrada "Cómo torturar una linea (o a un arquitecto) hasta que confiese", haciendo referencia a algo muy concreto: las herramientas utilizadas para el dibujo normalizado.

Ahora, en el dibujo técnico, el uso o conocimiento de la geometría se relega a comando en la programación informática de los programas de dibujo en la mayoría de los casos, y en prueba y error en el uso de estos comando en otros muchos. Muchos de nosotros, aunque ya no tan jóvenes, no recordamos los tiempos en los que el oficio de dibujar era prácticamente gremial, donde se desarrollaba perfeccionismo, detalle, cariño... en un documento único que soportaba mucho mejor el tiempo y su uso prolongado que el JPG/PDF/Cad actual.

A continuación unas imágenes que me han impactado, gustado e incluso añorado ... seguramente porque no he sufrido estos tiempos.

"Esos raros útiles hablan de una delicadeza que toma cuerpo frente a la intangibilidad actual de los ceros y unos informáticos. No sabemos ya ni cómo ni en qué sentido se empleaban estas amenazantes mandíbulas metálicas, ni falta que hace, pero desde luego su uso requería de una mano y de unos dedos que ajustaran sus ruedas y engranajes con una precisión afilada y exacta, como la que se espera de los profesionales de la orfebrería, la cirugía o la relojería."

Santiago de Molina

Matthew Shlian | geometría superficial

Matthew Shlian es diseñador y artista. Su soporte base es el papel, casi siempre blanco o en negro, con el que produce superficies volumétricas regladas. Nos recuerda al origami o papiroflexia. Aunque su aproximación al trabajo está próxima al concepto japones, sus herramientas van más allá del doblez.

Su trabajo se basa en desarrollos geométricos mediante patrones, pero su manera de llegar a ellos es práctica, fuera del mundo abstracto puramente gráfico y matemático en el que se suelen concebir. Diseña con tecnología actual, pero trabaja con las manos como si fuese un artesano gremial. Lucha con las formas en tres dimensiones: dobla, recorta pega, vuelve a pegar, repite, modifica ligeramente, gira... hasta que interioriza estructuras y genera geometrías volumétricas.

Ghostly International presents Matthew Shlian from Ghostly International on Vimeo.

Como ser un "Big Thales"

¿Quieres ganarte tu insignia y llegar a ser un "Big Thales"?

Participa en el maratón durante las próximas tres semanas y lo conseguirás.

Solo tienes que resolver un problema relacionado con Thales cada semana. Los domimgos 6, 13 y 20 de noviembre se propondrá un problema y tendrás 10 días para solucionarlo. Si resuelves todos los problemas en los plazos propuestos lograrás tu objetivo. Enviadme vuestras soluciones a info.pespuntos@gmail.com .

¡¡¡Animo!!! El mundo necesita nuevos sabios.



Problema 1 (hasta el 16 de noviembre)

Solución problema 02

Antes de daros la solución os cuelgo un par de links a continuación con los conceptos básicos para solucionar el problema:

Teorema del cateto.
Teorema de la altura.

Aquí podréis profundizar más sobre estos teoremas y otros conceptos de proporcionalidad.

Ambos teoremas son resultado de una interpretación conjunta del teorema de Thales y del teorema de Pitágoras.

Solución del Problema 02:

El problema es una aplicación directa del teorema de la altura.



Enunciado del problema 02.

Problema 02

Os propongo otro problema:



Os dejo tiempo para que lo intentéis. En un par de días os mostraré la solución.

¡¡¡Ánimo!!!



Solución al problema 02.

Teorema de Pitágoras

Para entender el teorema de Pitágoras tenemos que saber primero que es un triángulo rectángulo.

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Es un triángulo rectángulo todo aquel triángulo que tenga uno de sus ángulos rectos, es decir de 90°.
En un triángulo rectángulo el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa (es el lado más grande), y los lados que forman el angulo recto se llaman catetos.

TEOREMA DE PITÁGORAS

"En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos."

Su demostración geométrica se realiza a través del área de los cuadrados de la hipotenusa y los catetos.

Si seguís sin creéroslo ved este vídeo y salir de dudas.



REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES

El teorema de Pitágoras supuso el descubrimiento de los números irracionales (raices). Estos números ya se representaban geometricamente, pero no tenían una correspondencia algebráica.

Teorema de Thales

TEOREMA DE THALES (SEMEJANZA Y PROPORCIONALIDAD):

"Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra."

Dicho específicamente para triángulos: "Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado."

Este principio conlleva que "si las rectas a y b son paralelas y cortan a otras dos rectas r y s, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales" o también llamados semejantes.

La definición de semejantes dice que: "Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales. La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza".

Aquí podéis profundizar más sobre Thales de Mileto y el teorema que postuló.

También os dejo un problema por si queréis aplicar este teorema de manera práctica.

Solución al problema 01

El problema 01 es una aplicación directa del un teorema de Thales, principio básico de la geometría clásica. Aquí lo podéis consultar.

SOLUCIÓN AL PROBLEMA 01:

Basta con colocar los segmentos a y b según la figura de Thales. El resultado de aplicar el teorema de Thales será el segmento c.



Lo más difícil es darse cuenta que el segmento b, aun que mide 2, hay que ponerlo en relación con la unidad. Esto se ve más claro con la explicación aritmética a la que estamos más acostumbrados:

enunciado problema 01

Problema 01

Como introducción al dibujo técnico os propongo un problema de geometría básica.
Así podéis medir vuestros conocimientos en este punto de partida.



!Animo¡



Solución problema 01